GROWTH AND COEFFICIENT ESTIMATES FOR UNIFORMLY LOCALLY UNIVALENT FUNCTIONS ON THE UNIT DISK

須川敏幸 京都大学・理学部 AND YONG CHAN KIM YEUNGNAM UNIVERSITY

単位円板上の正則函数 f : 𝔻 → ℂ がある定数 ρ > 0 に対して単位円板内の任意の半径 ρ > 0 の双曲円板において単葉であるときに、一様局所単葉であると言う。これは f の前 Schwarz 微分 T_{f} = f′′/f′ が双曲的に有界であること、すなわち、

∥T_{f}∥ = sup_{z∈𝔻}(1 − |z|^{2})|T_{f}(z)| < ∞

が成り立つことと同値である [4]。（別の言い方をすれば log f′ が Bloch 函数であるということである。） T_{f} は 1 次函数の後からの合成に関して不変なので以後では f(0) = f′(0)−1 = 0 と正規化された単位円板上の正則函数のみを考える。このような函数全体を A と表すことにし、その部分集合で上記のノルムが有限であるようなもの全体を B と表す。これは f と T_{f} を同一視することにより Banach 空間の構造を持つ。

この講演ではその部分集合 B(λ) = {f ∈ A; ∥T_{f}∥ ≤ 2λ} について考察する。以下は [3] の結果の一部である。

T_{1} を A の部分集合でリーマン球面全体に擬等角に拡張できるような函数全体とする。このような集合は B の開集合で非可算無限個の成分を持ち IntB(1/2) ⊂ T_{1} ⊂ B(3) であることが知られている（[2], [5]）。この集合は普遍 Teichmüller 空間の一つのモデルとしても重要である [1]。

まず B(λ) については次の函数が極値函数としての役割を果たす:

F_{λ}(z) = ∫_{0}^{z} (\frac{1 + t}{1 − t})^{λ} dt.

これは T_{F_{λ}} = 2λ(1 − z^{2})^{−1} を満たす函数として特徴づけられ、パラメータについては次のことが言える。

補題 1.

1. F_{λ} が有界 ⇔ 0 ≤ λ < 1,

2. F_{λ} が単葉 ⇔ 0 ≤ λ ≤ 1.

応用上、次の結果が重要である。（証明は非常に易しく、 Bloch 函数の評価の variant と思えば知られた結果である。）

定理 2. f ∈ B(λ) に対して次の不等式が成り立つ。

F′_{λ}(−|z|) = (\frac{1 − |z|}{1 + |z|})^{λ} ≤ |f′(z)| ≤ (\frac{1 + |z|}{1 − |z|})^{λ} = F′_{λ}(|z|),

|f(z)| ≤ F_{λ}(|z|)

さらに f が単葉ならば

−F_{λ}(−|z|) ≤ |f(z)| ≤ F_{λ}(|z|).

が成立する。上記のどこかにおいて原点以外の 1 点で等号が成立すればそれは F_{λ} の回転に限る。

これより特に λ < 1 ならば f は有界で λ > 1 ならば f(z) = O(1 − |z|)^{1−λ} が成立する。

次に係数評価について述べる。 f ∈ B(λ) を級数展開して f(z) = z + a_{2}z^{2} + … と表しておく。 na_{n} = O(n^{γ}) (n → ∞) が成り立つような定数 γ の下限を γ(f) と表し、 f ∈ B(λ) 全体にわたる γ(f) の上限を γ(B(λ)) で表すことにする。すると次の評価が成り立つ。

定理 3.

λ − 1 ≤ γ(B(λ)) ≤ \frac{\sqrt{1 + 4λ^{2}} − 1}{2}.

ここで

\frac{λ^{2}}{λ + 1} < \frac{\sqrt{1 + 4λ^{2}} − 1}{2} < min \{λ^{2}, \frac{2λ^{2}}{2λ + 1}\} ≤ min\{λ^{2}, λ\}.

であることに注意しておく。

最後に Hardy 空間との関係について述べておく。

定理 4. f ∈ A が単葉でかつ ∥T_{f}∥ = 2λ を満たしているとする。 λ < 1 ならば f ∈ H^{∞} である。 λ > 1 ならば f ∈ H^{p} が任意の 0 < p < 1/(λ − 1) について成り立つ。 λ = 1 ならば f ∈ BMOA である。

ここで H^{∞} ⊂ BMOA ⊂ ∩_{0<p<∞}H^{p} が成り立つことに注意しておく。

References

[1] Astala, K. and Gehring, F. W. Injectivity, the BMO norm and the universal Teichmüller space, J. Analyse Math., 46 (1986), 16–57.

[2] Becker, J. and Pommerenke, C. Schlichtheitskriterien und Jordangebiete, J. Reine Angew. Math., 354 (1984), 74–94.

[3] Kim, Y. C. and Sugawa, T. Growth and coefficient estimates for uniformly locally univalent functions on the unit disk, preprint (1998).

[4] Yamashita, S. Almost locally univalent functions, Monatsh. Math., 81 (1976), 235–240.

[5] Zhuravlev, I. V. Model of the universal Teichmüller space, Siberian Math. J., 27 (1986), 691–697.