ON THE BOTTOM OF THE SPECTRUM OF AN OPEN RIEMANN SURFACE

須川敏幸 （京都大学大学院・理学研究科）

この講演では双曲的リーマン面の（定曲率−4 の）双曲計量に関する（正値） Laplace-Beltrami 作用素に関するスペクトルの bottom に関する結果について述べる。一般次元の Riemann 多様体上の Laplace-Beltrami 作用素のスペクトルについては少なくとも幾何学的有限，特に体積有限な場合にはよく調べられており、 n > 2 の場合と n = 2 の場合とではかなり様子が異なることが知られている。例えば、 n > 2 の双曲多様体の場合は bottom は体積の逆数の定数倍で下から評価される。一方、 n = 2 で双曲的リーマン面の場合は体積有限ならば bottom は 0 である。

一方、 Fernández, Rodríguez [1], [2] によって平面領域 Rが一様完全な境界を持つとき（つまり Rが modulated であるとき），その面のスペクトルの bottom b(R) が正であることが示された。実際には、このような面については双曲計量に関する等周不等式

sup_{D} \frac{A_{R}(D)}{S_{R}(∂D)} =: h(R) < +∞

を示し（ただし、ここに上限は Rの相対コンパクトな滑らかな境界を持つ部分領域 D にわたって取り、 A_{R}(D), S_{R}(∂D) はそれぞれ Dの双曲面積、及び∂Dの双曲的長さを表す）、 Cheeger の不等式

\frac{1}{16} ≤ b(R)h(R)^{2}

を用いて示された。（逆に、 b(R)h(R) < 3/4 であることも知られている。）この定理は次のような形に一般化出来ることを報告したい。

定理. Rが非コンパクトで modulated なリーマン面で有限種数 gを持つとする。このとき、

h(R) ≤ 1 + \frac{(2g + 1)π}{L_{R}}

が成り立つ。ここに L_{R}は R内の可縮でない閉曲線の双曲的長さの下限である。従って、特に b(R) > 0 が成り立つ。

ここで Rが modulated であるとは L_{R} > 0 であることである。双曲的リーマン面 R の収束指数δ(R) は Rの単位円板上の Fuchs 群モデルをΓ とするとき

∑_{γ∈Γ} |1 − γ(0)|^{δ} < ∞

を満たすδ > 0 の下限として定義される。これはよく知られているようにΓ の conical limit set の Hausdorff 次元に等しい。この Rの収束指数δ(R) との b(R) の間には次のような関係が知られている。（Elstrodt-Patterson-Sullivan の定理)

b(R) = \begin{cases}\frac{1}{4} & if 0 ≤ δ(R) ≤ \frac{1}{2}, \\ δ(R)(1 − δ(R)) & if \frac{1}{2} ≤ δ(R) ≤ 1. \end{cases}

このことから、次の系が従う。

系. 先の定理と同じ仮定の下で、 δ(R) < 1 が成り立つ。

注意なお、種数が無限大の場合には modulated であっても b(R) = 0 であるものやそうでないものもあり、これには面の組み合わせ的な条件が絡んでくるようである。

References

1. Fernández, J. L. Domains with strong barrier, Rev. Mat. Iberoamericana, 5 (1989), 47–65.

2. Fernández, J. L. and Rodríguez, J. M. The exponent of convergence of Riemann surfaces. Bass Riemann surfaces, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math., 15 (1990), 165–183.