UNIFORM PERFECTNESS OF JULIA SETS OF RATIONAL FUNCTIONS

須川敏幸 （京都大学大学院・理学研究科）

この講演では次数 2 以上の有理函数の Julia 集合の一様完全性について述べる。以下では特に断らない限り考える有理函数は全て次数 d ≥ 2 であるとする。双曲的な有理函数については Pommerenke [3] がその一様完全性を証明していたが、一般の有理函数については Mañé-da Rocha [2] と Hinkkanen [1] により独立に証明された。また、超越整函数については一様完全でない例が[1] に remark されている。ただ、いずれの証明も一様完全でないとするといくらでも modulus が大きくなる essential な円環の列が取れることから矛盾を導いており、具体的な一様完全性の評価は与えられていない。例えば、次のような結果も成り立つので具体的な一様完全性の評価を行うことは意味があるものと考えられる。

定理 1. リーマン球面ℂ̂の開集合Ωの境界を分離する円環領域の modulus の上限を M_{Ω}で表せば E = ℂ̂ \ Ωの Hausdorff 次元に関して次の評価が成り立つ。

H-dim(E) ≥ \frac{log 2}{log(2e^{M_{Ω}} + 1)} ≥ \frac{log 2}{M_{Ω} + log 3}.

さらに領域定数 L_{Ω}を次のように定義する。

L_{Ω} = inf ℓ_{Ω}[β],

ただしここに inf はΩ内の全ての可縮でない閉曲線βの自由ホモトピー類 [β] 全体にわたって取り、 ℓ_{Ω}[β] はその測地線の双曲的長さであるとする。これについて次の評価が成り立つことは既にこれまでの学会発表の通りである。

L_{Ω} ≤ \frac{π^{2}}{M_{Ω}} ≤ L_{Ω}e^{L_{Ω}}.

そこで M_{Ω} < ∞(⇔ L_{Ω} > 0) であるような閉集合 E = ℂ̂\Ωを一様完全であるという。

さて f : ℂ̂ → ℂ̂を次数 d ≥ 2 の有理函数とする。その Julia 集合及び Fatou 集合をそれぞれ J_{f}, Ω_{f}と書くことにしよう。以下では L_{Ω_{f}} の下からの具体的評価を与えることが目標である。 fの critical point は重複度も込めて 2d−2 個あることが知られているが、 critical point を含む Fatou 集合の連結成分を全て列挙してそれらを U_{1}, …, U_{s}としよう。 W_{j} = f(U_{j}), C_{j} = {u ∈ U_{j} : df(u) = 0} とおく。そこで v_{1}, v_{2} ∈ f(C_{j})(v_{1} ≠ v_{2}) 及び v ∈ f(C_{j}) に対して S(v_{1}, v_{2}) を v_{1}, v_{2}を通る W_{j}内の可縮な閉曲線で fによる適当な持ち上げが∂U_{j}を分離するようなもの全体のなす集合、及び T (v) を vを essential に 2 回以上通る W_{j}内の可縮な閉曲線で fによる適当な持ち上げが∂U_{j}を分離するようなもの全体のなす集合とする。ここで閉曲線β : S^{1} → W_{j}が点 vを essential に 2 回以上通るとは、ある 2 点 a, b ∈ S^{1}(a ≠ b) でβ(a) = β(b) = vなるものがあって、 S^{1} \ {a, b} の連結成分を I_{1}, I_{2}とするときβ|Ī_{1}, β|Ī_{2}がともに W_{j}内の可縮でない閉曲線になっていることであるとする。さらに各 W_{j}での双曲計量での曲線βの長さを ℓ_{W_{j}}(β) と表す時、

k_{j}(v_{1}, v_{2}) = inf_{β∈S(v_{1},v_{2})} ℓ_{W_{j}}(β), k′_{j}(v) = inf_{β∈T (v)} ℓ_{W_{j}}(β),

k_{j} = min_{v_{1},v_{2}∈f(C_{j});v_{1}≠v_{2}} k_{j}(v_{1}, v_{2}), k′_{j} = min_{v∈f(C_{j})} k′_{j}(v)

と定める。ただし#f(C_{j}) = 1ならばk_{j} = ∞と定めておく。ここでd_{W_{j}}(v_{1}, v_{2}), ι_{W_{j}}(v) をそれぞれ W_{j}における双曲距離及び双曲単射半径とするとき

k_{j}(v_{1}, v_{2}) ≥ 2d_{W_{j}}(v_{1}, v_{2}), k′_{j}(v) ≥ 4ι_{W_{j}}(v)

だから特に k_{j} > 0, k′_{j} > 0 であることに注意しておこう。最後に fの Herman 環を A_{1}, …, A_{t}とすれば次の結果を得る。

定理 2.

L_{Ω_{f}} ≥ min{k_{1}, …, k_{s}, k′_{1}, …, k′_{s}, L_{A_{1}}, …, L_{A_{t}}}.

系.

L_{Ω_{f}} ≥ min_{v_{1},v_{2},v∈f(C);v_{1}≠v_{2}}{2d_{Ω_{f}} (v_{1}, v_{2}), 4ι_{Ω_{f}} (v), L_{A_{1}}, …, L_{A_{t}}}.

特に J_{f}は一様完全である。

References

1. Hinkkanen, A. Julia sets of rational functions are uniformly perfect, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 113 (1993), 543–559.

2. Mañé, R. and da Rocha, L. F. Julia sets are uniformly perfect, Proc. Amer. Math. Soc., 116 (1992), 251–257.

3. Pommerenke, C. On uniformly perfect sets and Fuchsian groups, Analysis, 4 (1984), 299–321.