一様完全性を特徴付ける種々の領域定数について

須川敏幸 京都大学大学院理学研究科

Riemann 球面 ℂ̂ の部分領域 D で境界が 3 点以上からなるものを考える。するとよく知られているように、上半平面 ℍ から D への解析的普遍被覆写像 f が存在する。この Schwarz 微分 S_{f} = (f′′/f′)′ − \frac{1}{2}(f′′/f′)^{2} の双曲ノルム

N_{D} := ∥S_{f}∥_{ℍ} = sup_{z∈ℍ}(2Imz)^{2}|S_{f}(z)|

がどのような時に有限になるだろうか？（N_{D} は f の選び方によらず、 D のみにより定まる。） これについては、 Pommerenke [P1],[P2] により様々な幾何学的考察が行われており、 N_{D} が有限であるような領域に様々な特徴付けが見いだされ、単連結領域に近い性質を持つことなどが知られている。このような領域のことを（Minda の用法に従って）一様完全領域と呼ぶことにしよう。 ここでは、関連する領域定数の相互の関係を論じていきたい。まず次のように記号を定める。

σ_{D} := f の単射半径 = sup{a ≥ 0; 任意の半径 a の双曲円板上で f は単射}

M_{D} = sup_{A∈A_{D}} mod A, M̃_{D} = sup_{R∈Ã_{D}} mod R

ただし、ここに A_{D}, Ã_{D} は D の境界を分離するような D 内の (round) annulus の全体、 ring domain の全体をそれぞれ表すとする。また、 ring domain R のモジュラス mod R は R が round annulus {r_{1} < |z − a| < r_{2}} に等角同値な時 log r_{2}/r_{1} により定義されるものとする。 これらについて、次のような評価が得られる。

定理 1(Kra-Maskit, cf.[S]).

D が単連結でなければ、 2 coth^{2} σ_{D} ≤ N_{D} ≤ 6 coth^{2} σ_{D}.

定理 2.

\frac{π^{2}}{2σ_{D}} e^{−2σ_{D}} ≤ \frac{π}{σ_{D}} arctan (\frac{1}{sinh(2σ_{D})}) ≤ M̃_{D} ≤ \frac{π^{2}}{2σ_{D}} .

σ_{D}, M̃_{D} は等角同値であるが（特に M̃_{D} は擬等角写像について quasi-invariant であることは特筆に値する）、 M_{D} については Möbius 不変ですらない。しかし、次のような評価は成り立つ。

定理 3.

L を Möbius 変換の元とするとき、\frac{1}{2}M_{L(D)} − log 4/3 ≤ M_{D} が成り立つ。さらに D ⊂ ℂ かつ L(D) ⊂ ℂ の場合には M_{L(D)} − log 2 ≤ M_{D} が成り立つ。

また、 M_{D} と M̃_{D} との関係については M_{D} ≤ M̃_{D} は定義から明らかだが、逆向きについても次のような評価が成立する。

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2 須川敏幸 京都大学大学院理学研究科

定理 4(cf. McMullen [M, Thorem 2.1]).

D ⊂ ℂ の場合には M̃_{D} ≤ M_{D} + 5 log 2

系.

N_{D} < ∞ ⇔ σ_{D} > 0 ⇔ M_{D} < ∞ ⇔ M̃_{D} < ∞ 特に一様完全領域の擬等角写像による像もまた一様完全である。

他にも関連する領域定数が考えられるが、スペースの都合でここでは省略し、講演中に述べることにしたい。なお、講演では触れられないが、このような一様完全領域の BMO を用いた種々の特徴付けについては後藤氏 [G] による興味深い結果があることを付言しておく。

References

[G]. Y. Gotoh, On holomorphic maps between Riemann surfaces which preserve BMO, Preprint. [M].C. McMullen, Complex Dynamics and Renormalization, Annals of Mathematical Studies, Princeton,

1994. [P1].Ch. Pommerenke, Uniformly perfect sets and the Poincaré metric, Arch. Math. 32 (1979), 192–199. [P2].Ch. Pommerenke, On uniformly perfect sets and Fuchsian groups, Analysis 4 (1984), 299–321. [S]. T. Sugawa, A class of norms on the spaces of Schwarzian derivatives and its applications, Proc.

Japan Acad. 69, Ser. A (1993), 211–216.