A CONFORMALLY INVARIANT METRIC ON RIEMANN SURFACES ASSOCIATED WITH INTEGRABLE HOLOMORPHIC QUADRATIC

DIFFERENTIALS

須川敏幸 京都大学・理学部

この講演では可積分正則 2 次微分の空間から定まる等角不変計量を定義し、その計量の持つ性質について概観する。

まず、 R を任意のリーマン面として A(R) を R 上の可積分正則 2 次微分全体のなす複素バナッハ空間とし、

A_{0}(R) = {$φ ∈ A(R); ∥φ∥_{A(R)} := ∫∫ _{R} |φ| = ∫∫ _{R} |φ(z)|dxdy ≤ π}

と定める。局所座標を固定した上で、

q_{R}(z) = sup_{φ∈A_{0}(R)} |φ(z)|^{1/2}

と定めれば、 q_{R}(z)|dz| は R 上の擬計量となる。より詳しくは、 A(R) が正の次元を持つ（つまり R が自明でない複素構造の変形を許す）ならば、 q_{R} は実際に計量となり、それ以外の場合は恒等的に 0 になる。リーマン面 R について A(R) = 0 となる場合を例外型、そうでない場合を一般型と呼ぶことにする。

極値的な二次微分について次のことが言える。

定理 1. R を一般型リーマン面とし、その上の局所座標 z を一つ固定する。 z_{0} = z(p_{0}) とすると、これに対してある φ_{0} ∈ A_{0}(R) が一意的に存在して

q_{R}(z_{0})^{2} = φ_{0}(z_{0})

を満たす。しかもこの φ_{0} は次の再生公式を満たす：

ψ(z_{0}) = \frac{q_{R}(z_{0})^{2}}{π} ∫∫ _{R} \frac{|φ_{0}|}{φ_{0}}ψ (∀ψ ∈ A(R)).

逆にこの再生公式を満たす任意の φ_{0} に対し、 πφ/∥φ∥_{A(R)} と正規化したものは上の極値問題の解になっている。

また、この計量について次の評価式が成立する。

補題 2.

\sqrt{πK_{R}(z, z)} ≤ q_{R}(z) ≤ h_{R}(z).

ただし、ここで K_{R} は R の Bergman 核、 h_{R} は R の Hahn 計量とする。

以下では R は双曲的とする。 B(R) を R 上の双曲的有界な正則 2 次微分全体のなすバナッハ空間とし、そのノルムを ∥φ∥_{B(R)} = sup ρ_{R}^{−2}|φ| によって定義する。ただし、ここに ρ_{R} = ρ_{R}(z)|dz| は R の双曲計量とする。そこで κ(R) = sup{∥φ∥_{B(R)}; φ ∈ A_{0}(R)} と定める。特に A(R) ⊂ B(R) ⇔ κ(R) < +∞ であることに注意する。実は次のことが言える。

補題 3.

κ(R) = sup_{p∈R} (\frac{q_{R}}{ρ_{R}} (p))^{2} .

従って、 q_{R}/ρ_{R} は大域的な量 κ(R) を局所化した量だと思うことが出来る。 κ(R) については松崎克彦氏 [1] による具体的評価が知られているが、 q_{R} を詳しく解析することにより、それを再生することが出来る。

講演では、具体的な q_{R} の評価や、一様完全性との関連についても言及する予定である。

References

[1] Matsuzaki, K. The Petersson series for short geodesics, XVIth Rolf Nevanlinna Colloquium (Joensuu, 1995), de Gruyter, Berlin (1997).