ある密性条件を満たす集合の一般化容量の評価

須川敏幸

広島大学大学院理学研究科

1. Hausdorff 容量および測度

この講演では (X, ρ) は常に可分距離空間とする。 h を計測関数とする、すなわち h は (0, +∞) 上で正値 (狭義) 単調増加連続関数とし h(+0) = 0 を満たすとする。 Borel 集合 E ⊂ X および t ∈ (0, +∞] に対して

H_{h}^{t}(E) = inf {∑_{j} h(diam U_{j}); E ⊂ ⋃_{j} U_{j}, diam U_{j} < t}

とし、 H_{h}(E) = lim_{t→0} H_{h}^{t}(E) と定める。 H_{h}(E) は E の Hausdorff h-測度と呼ばれ、 H_{h}^{∞}(E) は E の Hausdorff h-容量と呼ばれる。 H_{h}^{∞}(E) > 0 ⇔ H_{h}(E) > 0 であることに注意する。

2. 一般化容量

一般化容量はユークリッド空間の部分集合については Frostman の学位論文 [1] により初めて定義が与えられた。距離空間への一般化および結果の精密化については亀谷 [2] による。

関数 Φ : (0, ∞) → ℝ を容量核とする、すなわち、連続 (狭義) 減少関数で Φ(+0) = +∞ を満たすものとする。有界 Borel 集合 E に対して P (E) を E に台を持つ X 上の Borel 確率測度全体のなす集合とする。また、 P_{0}(X) を有界集合に台を持つような X 上の Borel 確率測度全体とする。 μ ∈ P_{0}(X) の Φ-ポテンシャル u_{μ}^{Φ} を

u_{μ}^{Φ}(x) = ∫_{X} Φ(ρ(x, y))dμ(y), x ∈ X,

によって定める。すると u_{μ}^{Φ} は X 上で下半連続である。さらに有界 Borel 集合 E に対して

V^{Φ}(E) = inf_{μ∈P (E)} ∥u_{μ}^{Φ}∥_{∞}, ここに ∥u_{μ}^{Φ}∥_{∞} = sup_{x∈X} u_{μ}^{Φ}(x),

とし、 E の Φ-容量を

C^{Φ}(E) = Φ^{−1}(V^{Φ}(E))

によって定める。このとき

C^{Φ}(E) ≤ inf_{x∈E} sup_{y∈E} ρ(x, y) ≤ diam E

に注意する。

Date: July 4, 2002 数理解析研究所共同研究集会 “ポテンシャル論とその周辺”.

1991 Mathematics Subject Classification. Primary 31A15; Secondary 30C85.

Key words and phrases. Hausdorff content, generalized capacity, uniformly perfect.

3. Hausdorff 容量と一般化容量との関係

次の結果は Erdös-Gillis の結果の一般化である。

定理 1 (Kametani [2]). h を計測関数とし E を X の Borel 部分集合とする。 Φ(x) = 1/h(x) とするとき、 H_{h}(E) < ∞ ならば C^{Φ}(E) = 0 である。

この定理は定性的なものだが、主張は弱くなるものの、定量的な結果も示される。 [2] にこの主張は明示的には現れないが、証明から読みとれる: E を X のコンパクト部分集合とし、 Φ = 1/h とする。このとき

\frac{1}{V^{Φ}(E)} ≤ H_{h}^{∞}(E)

が成り立つ。また、逆向きの評価は、 (X, ρ) がユークリッド空間である場合には次のような形で示される。（これも [2] には明示的には現れないが、やはり証明から読みとれる。）

定理 2. X = ℝ^{n}, ρ(x, y) = |x − y| とし、 − ∫_{0}^{t_{0}} h(t)dΦ(t) < +∞ が十分小さい t_{0} > 0 に対して成り立つと仮定する。このとき任意のコンパクト集合 E ⊂ X に対して

V^{Φ}(E) ≤ Φ(r_{0}) − \frac{A_{n}}{H_{h}^{∞}(E)} ∫_{0}^{r_{0}} h(t)dΦ(t)

が成り立つ。ただし、ここに r_{0} = 2diam E で、 A_{n} は次元 n にのみ依存する正定数である。

系 3.3 (Kametani [2]). 同じ仮定の下で H_{h}^{∞}(E) > 0 ⇒ C^{Φ}(E) > 0 が成り立つ。

4. 密性条件

φ : (0, r_{0}) → ℝ を非減少関数で 0 < φ(r) ≤ r, 0 < r < r_{0}, を満たすものとする。これに対して A_{φ}(a, r) = {x ∈ X; φ(r) ≤ ρ(x, a) ≤ r} と定める。

空でない閉集合 E ⊂ X が φ-完全であるとは全ての a ∈ E かつ 0 < r < r_{0} に対して E ∩ A_{φ}(a, r) ≠ ∅ が成り立つことをいう。ある定数 0 < c ≤ 1 に対して φ(r) = cr とするとき、この概念は通常の一様完全性と一致する (cf. [3], [4])。

5. 主定理

h を計測関数、 φ : (0, r_{0}) → ℝ を前節におけるような関数とする。ここで補助関数 ε および δ を

h(φ(x/3)/2) = \frac{exp ε(x)}{2}h(x) and h(2x) = h(x) exp δ(x)

によって定義する。

ν : (0, x_{0}) → ℝ が関数 λ : (0, x_{0}) → ℝ の単調優関数であるとは ν が非減少で 0 < x < x_{0} において |λ(x)| ≤ ν(x) であることをいう。

定理 4. (X, ρ) を完備可分距離空間とする。関数 φ はある定数 0 < c < 1 に対して φ(r) ≤ cr が成り立つと仮定する。 ε の単調優関数 η で十分小さい x_{0} > 0 に対して

∫_{0}^{x_{0}} \frac{η(x)dx}{x} < +∞

が成り立つものが存在すると仮定すると、任意のφ-完全な閉集合E について H_{h}^{∞}(E) > 0 が成り立つ。さらに、もし δ の単調優関数 ω で十分小さい x_{0} > 0 について

∫_{0}^{x_{0}} \frac{ω(x)dx}{x} < +∞,

を満たすものが存在するとき、 φ-完全なコンパクト集合 E ⊂ ℝ で 0 < H_{h}^{∞}(E) ≤ H_{h}(E) < +∞ を満たすものが構成できる。

なお、もし (X, ρ) がユークリッド空間であるならば、上の ε の定義において φ(x/3)/2 を φ(x/3) に置き換えることができる。この場合、さらに φ(r) = cr とし、 h(x) = x^{β}, ここで β = log 2/ log(3/c), とすれば、 ε(x) = 0, となるので定理が適用できる。従ってこの場合は φ-完全集合 E ⊂ ℝ^{n} に対して H-dimE ≥ log 2/ log(3/c) が成り立つ。

しかし、より一般の φ についてはこの結果では不十分な場合がある。そこで、次のような変形も有用である。

定理 5. (X, ρ) を完備可分距離空間とする。関数 φ はある定数 c > 0, α > 1 に対して φ(r) ≤ cr^{α} が成り立つと仮定する。 ε の単調優関数 η で十分小さい x_{0} > 0 に対して

∫_{0}^{x_{0}} \frac{η(x)dx}{x log(1/x)} < +∞

が成り立つものが存在すると仮定すると、任意のφ-完全な閉集合E について H_{h}^{∞}(E) > 0 が成り立つ。さらに、もし δ の単調優関数 ω で十分小さい x_{0} > 0 について

∫_{0}^{x_{0}} \frac{ω(x)dx}{x log(1/x)} < +∞,

を満たすものが存在するとき、 φ-完全なコンパクト集合 E ⊂ ℝ で 0 < H_{h}^{∞}(E) ≤ H_{h}(E) < +∞ を満たすものが構成できる。

References

1. O. Frostman, Potentiel d’équilibre et capacité des ensembles avec quelques applications à la théorie des fonctions, Lund: Diss. 118s (1935).

2. S. Kametani, On Hausdorff’s measures and generalized capacities with some of their applications to the theory of functions, Jap. J. Math. 19 (1945), 217–257.

3. Ch. Pommerenke, Uniformly perfect sets and the Poincaré metric, Arch. Math. 32 (1979), 192–199.

4. T. Sugawa, Various domain constants related to uniform perfectness, Complex Variables Theory Appl. 36 (1998), 311–345.

  E-mail address: sugawa@math.sci.hiroshima-u.ac.jp