幾何学的函数論入門

\(先端数学\ 2005  年6月3日\ 須川敏幸\)

1.幾何学的函数論とは

\(キ - ワ - ド\)

正則写像，有理型写像，等角写像・単葉函数，調和函数，平面領域，リーマン面，クライン群，擬等角写像，複素力学系，タイヒミュラー空間，ポテンシャル，双曲計量

単連結領域

\((平面)\)領域が単連結であるとは,\(その上の任意の閉曲線が一点に連続変形できることをいう . たとえば\),\(領域がある1点に関して星状であれば単連結である . 
しかし\),\(\(次のように複雑な形状の単連結領域も存在する\)\(.\)\)

p1 = 
        Line[{{0, 0}, {0, 1}, {1, 1}, {1, 0}, {0, 
              0}}];
p2 = 
        Table[Line[{{1/n, 0}, {1/n, 1 - 1/n}}], {n, 2, 
            1000}];
Show[Graphics[{p1, p2}], 
        PlotRange -> {{0, 1}, {0, 1}}];

\(リ - マンの写像定理\)

\(Ω\ を複素平面に真に含まれる単連結領域とする . このとき\),単位円板 D から Ω への等角写像\((同相な正則写像)\)\(\(が存在する\)\(.\)\)

\(2.  多項式の幾何学\)

\(Gauss - Lucasの定理\)

\(P \((z)\)\ を複素係数 \((1  変数)\) 多項式とする . \ 
        P' \((z)\)\ の零点は\ P \((z)\)\ \(\(の零点全体の凸包に含まれる\)\(.\)\)\)

\(例\)

zero = {1, 
          1.2 +  .3  I,  .8 +  .9  I,  .2 + 
            1.3  I, - .5 +  .9  I, -1.3 -  .2  I, - .3 -  .86  
              I,  .38 -  .8  I, 
          0,  .2 +  .3  I};
f[z_] := 
        Product[(z - zero[[m]]), {m, 1, 
            Length[zero]}];
crdata = 
        NSolve[f'[z] == 0, z];
crit = z  /.  crdata;
coord1 = 
        Transpose[{Re[crit], Im[crit]}];
coord = Transpose[{Re[zero], Im[zero]}];
poly = Polygon[Drop[coord, -2]];
pt = 
        Table[Disk[coord1[[m]],  .04], {m, 1, 
            Length[coord1]}];
Show[Graphics[{{RGBColor[0, 1, 1], poly}}], Graphics[pt], 
        AspectRatio -> Automatic];

Sendov予想

\(P \((z)\) = ∏\+\(k = 1\)\%n\((z - 
              z\_k)\)\ \ を複素係数多項式とし, 
    n > 1, \ \(\(|\)\(z\_k\)\(|\)\(\(≤\)\(1\ が成り立つとする . このとき\)\)\), 各零点\ \(z\_k\) を中心とする半径\ 1\ の閉円板内に, 少なくとも一つの\ P' \((z)\)\ \(\(の零点が含まれる\)\(.\)\)\)

\(例\)

cir = 
        Table[Circle[coord[[m]], 1], {m, 1, 
            Length[coord]}];
Show[Graphics[{{RGBColor[0, 1, 1], poly}}], Graphics[{pt, cir}], 
        AspectRatio -> Automatic];

3.単位円板上の正則函数

べき級数展開

\(単位円板上の正則函数\ f \((z)\)\ は, 収束べき級数\)

f (z) = (∑_(n = 0)^∞) (Subscript[a, n]) 
            (z^n)     (|z|<1)

\(の形に展開できる . 特に\ f \((0)\) = 0\), \(f' \((0)\) = 1\ のとき\),この函数は正規化されているという.

単葉函数

\(単位円板上の正則函数\ f \((z)\)\ は, 
    1  対1のとき, すなわち\)
 f (z) = f (w)     ==  >   z = 
          w
が成り立つとき,単葉であるといわれる.

\(問題\)

\(単位円板上の正規化された正則函数が単葉であるための必要条件, \(\(または十分条件を求めよ\)\(.\)\)\)

\(例 \((ケ - ベ函数)\)\)

k (z) = (z/(((1 - z))^2)) = z + 2  (z^2) + 
                3  (z^3) +  ... . = (∑_(n = 1)^∞) 
              n (z^n)

n1 = 16; n2 = 16; Clear[m, t];
rad = Table[m/n1, {m, 1, n1}];
ang = Exp[2  Pi i rad];
image[xmin_, xmax_, ymin_, ymax_] := 
        ParametricPlot[
          Evaluate[
            Join[Table[{Re[f[m/n1 Exp[2  Pi I t]]], 
                  Im[f[m/n1 Exp[2  Pi I t]]]}, {m, 1, n1}], 
              Table[{Re[f[t Exp[2  Pi I m/n2]]], 
                  Im[f[t Exp[2  Pi I m/n2]]]}, {m, 1, n2}]]], {t, 0, 1}, 
          PlotRange -> {{xmin, xmax}, {ymin, ymax}}, 
          AspectRatio -> Automatic];
f[z_] := z/(1 - z)^2;
image[-10, 15, -8, 8];

\(ビ - ベルバッハ予想\)

\(単位円板上の正規化された正則函数\)
f (z) = 
      z +  (∑_(n = 2)^∞) (Subscript[a, n]) 
            (z^n)
\(が単葉ならば, \(\(|\)\(a\_n\)\(|\)\(\(≤\)\(\ \)\(n\ \ \(\(が成り立つ\)\(.\)\)\)\)\)\)

\(この予想は1916年にビ - ベルバッハによって初めて述べられたが, その後長らく, 多くの数学者の努力にもかかわらず解決をみなかった . しかし, 
    1984  年にいたって, \(\(ドブランジュによってようやく解決された\)\(.\)\)\)

\(例 \((適当な多項式の単葉性)\)\)

f[z_] := z + z^3/3 + a z^6/3;
Table[a = m/40; 
        image[-1.5, 1.5, -1.5, 1.5], {m, 0, 40}];

\(例 \((螺旋)\)\)

f[
          z_] := (((1 + z)/(1 - z))^(1 + 
                      Exp[2  Pi I a]) - 1)/
            2/(1 + Exp[2  Pi I a]);
Table[a = m/41; 
        image[-1.5, 1.5, -1.5, 1.5], {m, 0, 41}];

\(4.  レポ - ト課題\)

\(\((1)\)\ Gauss - \(\(Lucasの定理を証明せよ\)\(.\)\)\)

\(\((2)\)\ 多項式\ P \((z)\) = 
      z + c\ z^2\ \((ただし\ c\ は複素数)\) \(\(が単位円板上で単葉であるための必要十分条件を求めよ\)\(.\)\)\)

\(参考 : 今日用いたMathematicaのファイルは須川のホ - ムペ - ジ内\)
http://sugawa . cajpn . org/lecture/
\(\(内にも置かれているので必要に応じて参照のこと\)\(.\)\)