平成 15 年度数理解析特論Ｂ （須川敏幸担当）

レポート問題 (2004 年 1 月 29 日出題)

以下のうち１問以上を選択してレポートせよ．提出場所：次回講義時間，または数学事務室，提出期限： 2 月 9 日．（なお，同内容のファイルを

http://sugawa.cajpn.org/lectures.html

にも置く予定である．）

[1] 定数 0 < α ≤ 1, 2 < p < ∞ に対して，複素平面上で α-Hölder 連続かつ p 乗可積分な（超函数の意味での）偏導函数を持つ函数 f で f(0) = 0 を満たすもの全体を B_{α,p} とし，

∥f∥_{B_{α,p}} = sup_{z_{1},z_{2}∈ℂ;z_{1}≠z_{2}} \frac{|f(z_{1}) − f(z_{2})|}{|z_{1} − z_{2}|^{α}} + ∥f_{z}∥_{p} + ∥fz̄∥_{p}

とする．（ここに ∥ · ∥_{p} は ℂ 上の L^{p} ノルムとする．）この空間 B_{α,p} は上記のノルムに関して完備（すなわち B_{α,p} はバナッハ空間）であることを示せ．

[2] f(z) を C^{1} 級の写像とする．極座標 z = re^{iθ} を用いて（すなわち偏導函数 f_{r}, f_{θ} を用いて） f のベルトラミ係数をできるだけ簡単に表現せよ．

[3] α を Re α > 0 を満たす複素数とし，写像 f : ℂ → ℂ を f(0) = 0 かつ z ≠ 0 に対し

ては

f(z) = \frac{z}{|z|}e^{α log |z|}

によって定める． f の Beltrami 係数を計算し， f が擬等角写像であることを確認せよ．