平成 14 年度総合数理特論Ｄ （担当：須川）

2003 年 1 月 29 日出題（2 月 7 日改訂）

レポート問題

以下のうち，１問を選んで解答して下さい．

[1] Ω をリーマン面 R の正則領域（つまり、 R の相対コンパクトな部分領域で、境界が有限個の互いに交わらない解析的 Jordan 閉曲線からなるもの）とする。 p_{0} ∈ Ω として、 Ω 内の座標円板 α : D → 𝔻 = {|z| < 1} （ただし α(p_{0}) = 0 とする）における調和特異性 s(p) = − log |α(p)| を持ち、 Ω の境界で 0 となるような、 Ω \ {p_{0}} における調和関数 G(p, p_{0}) が存在することを説明せよ。（通常、 G(p, p_{0}) は p_{0} に極を持つ Ω の Green 函数と呼ばれる。）

特に Ω が単連結である場合には、 Ω\{p_{0}} 上の正則 1 形式 ω = dG(·, p_{0})+i∗dG(·, p_{0}) に対して、一点 p_{1} ∈ Ω \ {p_{0}} を固定し、

f(p) = exp (− ∫_{p_{1}}^{p} ω + G(p_{1}, p_{0}))

と定める。ただし、ここで積分路は p_{1} から p に至る Ω \ {p_{0}} 内の滑らかな曲線に取る。すると、 f は積分路の取り方によらずに定まる正則函数で、 |f| < 1 を満たすことを示せ。 Riemann の除去可能定理により f は p_{0} にも正則に拡張できるが、このとき f : Ω → 𝔻 が双正則になっていることも証明せよ。

[2] Γ を上半平面 ℍ に作用する Fuchs 群とする。すなわち、 Γ は ℍ の解析的自己同型群 Aut (ℍ) = PSL(2, ℝ) の離散部分群とする。言い換えれば、 Γ の元の列 γ_{n} が γ_{n} → id （ただし位相は行列のノルムで考える）を満たせばある n_{0} から先の n では γ_{n} = id が成り立つということである。このとき、 Γ は ℍ に真性不連続 (properly discontinuous) に作用する、あるいは、より強く、任意のコンパクト集合 K ⊂ ℍ に対して {γ ∈ Γ : γ(K) ∩ K ≠ ∅} は有限巡回群であることを証明せよ。（ヒント： Γ は ℍ の Poincaré 距離 d(z, w) = arctanh|(z − w)/(z − w̄)| を不変にすることに注意する。）

次に ℍ 内の２点 z, w が Γ 同値であるということを、ある γ ∈ Γ が存在して w = γ(z) が成り立つこととして定義する。この同値類で割って得られる商空間 R = ℍ/Γ には、商写像 π : ℍ → R が正則となるようなリーマン面の構造が入ることを説明せよ。

[3] リーマン面に関する適当な問題を作って、解答せよ。あるいは、自分で面白いと思ったリーマン面に関する定理を紹介し、証明を与えよ。