目次

第 1 章 Riemann 面の基本的性質 3 1.1 Riemann 面の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Riemann 面の位相的性質に関する注意 . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 正則函数と正則写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Riemann 面の基本的例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 正則写像の基本的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 複素トーラスと楕円函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.7 代数函数の Riemann 面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.8 向き付けられた 2 次元 Riemann 多様体の等角構造 . . . . . . . . . . 8

第 2 章被覆空間 9 2.1 被覆空間の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 ホモトピーと基本群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 普遍被覆空間の存在 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4 写像の持ち上げ可能性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.5 被覆変換群と Galois 被覆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

第 3 章 Riemann 面上の微積分 11 3.1 Riemann 面の複素接束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2 微分形式と外微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.3 微分形式の積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.4 ホモロジー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.5 アーベル微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.6 留数計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.7 周期関係式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 第 4 章 Riemann 面上の調和函数論 13

4.1 調和函数の基本的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2 劣調和函数と最大値原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.3 Perron の方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.4 Radó の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.5 Dirichlet 原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.6 Green 函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

第 5 章一意化定理 15 5.1 Riemann の写像定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5.2 正規作用素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5.3 標準截線領域への等角写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5.4 Poincaré-Koebe の一意化定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

第 6 章一意化定理の応用 17 6.1 Riemann 球面の自己同型群としての PSL(2, ℂ) . . . . . . . . . . . . 17 6.2 Möbius 変換の分類と標準形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6.3 Riemann 面の分類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6.4 Riemann 面の等角自己同型群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

第 7 章双曲計量とその応用 19 7.1 双曲的 Riemann 面と双曲計量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 7.2 Schwarz の補題と短縮原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

第 8 章講義予定 21 8.1 10 月 2 日 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 8.2 10 月 9 日 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 8.3 10 月 16 日 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 8.4 10 月 23 日 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 8.5 10 月 30 日 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 8.6 11 月 6 日 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 8.7 11 月 13 日 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 8.8 11 月 20 日 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 8.9 11 月 27 日 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 8.10 12 月 4 日 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 8.11 12 月 11 日 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 8.12 12 月 18 日 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 8.13 1 月 8 日 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 8.14 1 月 15 日 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 8.15 1 月 22 日 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 8.16 1 月 29 日 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 8.17 2 月 5 日 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

第1章 Riemann面の基本的性質

Riemann 面は歴史的には代数函数や対数函数などのいわゆる多価函数を数学的に厳密に取り扱うために生まれてきた概念であるが，その後さらに抽象化され有用性が次第に広く認識されてきた．本章では Riemann 面の基本的性質について解説するとともに，典型的な Riemann 面の例をいくつか挙げ，その重要性・普遍性について理解してもらうことを目標とする．

1.1 Riemann 面の定義

X を 2 次元位相多様体，すなわちハウスドルフ位相空間で局所的には ℝ^{2} に同相であるものとする． X の開集合 U_{α} から複素平面 ℂ の開集合 V_{α} への同相写像 α : U_{α} → V_{α} からなる集合 A が X の地図帳 (atlas) であるとは，

(i) 任意の α, β ∈ A に対して合成写像 β ∘ α^{−1} : α(U_{α} ∩ U_{β}) → β(U_{α} ∩ U_{β}) が通常の意味で正則 (holomorphic) であり，

(ii) (U_{α})_{α∈A} が X の開被覆をなす，すなわち ⋃_{α∈A} U_{α} = X が成り立つ

ことをいう．このとき，容易に分かるように β ∘ α^{−1} : α(U_{α} ∩ U_{β}) → β(U_{α} ∩ U_{β}) は双正則，すなわち全単射かつ正則で，逆写像も正則である．さらに，二つの X の地図上 A_{1}, A_{2} が同値であるとは合併集合 A_{1} ∪ A_{2} が再び X の地図帳であることをいい，記号で A_{1} ∼ A_{2} と書く．

補題 1.1. 関係 A_{1} ∼ A_{2} は同値関係である．

証明. 本質的には，正則写像の合成がやはり正則写像であることによる． □

次の補題は，与えられた二つの地図帳が同値であるかどうかを調べるのを省力化するのに有効であろう．補題 1.2. A を X 上の地図帳とし， α_{0} : U → V を X の開集合 U から ℂ の開集合 V への同相写像とする．もし任意の α ∈ A に対して写像 α_{0} ∘ α^{−1} : α(U_{α} ∩ U) → ℂ が正則であるならば，合併集合 A ∪ {α_{0}} は X 上の地図帳となる．

証明. 調べるべきことは，各 α ∈ A について α ∘ α_{0}^{−1} : α_{0}(U_{α} ∩ U) → ℂ がやはり正則であることであるが，これは同相な正則写像 α_{0} ∘ α^{−1} : α(U_{α} ∩ U) → α_{0}(U_{α} ∩ U) の逆写像と思ってよいので，やはり正則である． □

X 上の地図帳 A を含む上の意味での同値類を [A] と表し，これを X 上の複素構造と呼ぶ．このような 2 次元位相多様体 X と複素構造 [A] の組 (X, [A]) を 1 次元複素多様体と呼び，特に X が連結であるときにこれを Riemann 面と呼ぶ．（従って，本書では複素多様体とは連結とは限らないものも含めることとする．）なお，以下では文脈において地図帳の選び方が明らかな場合には単に X を Riemann 面と呼ぶことも多い．

A と同値な地図帳に属する元 α : U_{α} → V_{α} のことを X の局所座標 (local coordinates) または地図 (chart) と呼び，習慣的に z = α(p) などと表すことも多い．また，局所座標 α, β に対して β ∘ α^{−1} を（それが定義される範囲で）座標変換と呼ぶ．以下に見るように，この局所座標を通じて平面領域における局所的な議論が Riemann 面上でも同様に展開できる．さらに， X の点 p_{0} に対して p_{0} ∈ U_{α} となるような局所座標 α があるとき， U_{α} は p_{0} の座標近傍と呼ばれ，特に α(p_{0}) = 0 であるとき z = α(p) は p_{0} を中心とする局所座標と呼ばれる．また， D が p_{0} のまわりの座標円板であるとは， p_{0} ∈ D であって，さらにある局所座標 α があり，\overline{𝔻} ⊂ V_{α}, かつ α^{−1}(𝔻) = D が成り立つことをいう．さらに， 𝔻 を不変にする適当な一次分数変換を取ることにより， α(p_{0}) = 0 に取ることもできる．以下では、このような局所座標の組として α : D → 𝔻 を p_{0} のまわりの座標円板と呼ぶこともある。

1.2 Riemann 面の位相的性質に関する注意

まず， Riemann 面の定義において我々は X に第二可算公理を課していないことに注意する．しかし，（一般の実多様体や，高次元複素多様体の場合と異なり）可算性は Riemann 面の場合，定義から導かれるのである．これは Radó の定理と呼ばれるものであるが，後に厳密な証明を与えることにしよう．このことから， Riemann 面のパラコンパクト性（任意の開被覆から局所有限な部分被覆が取れること）が従い，特にいわゆる“ 1 の分割” (partition of unity) ができることに注意しておく．

もう一つ， Riemann 面の定義から分かる位相的な性質があることに注意しよう．それは向き付け可能性である．

命題 1.3. Riemann 面には複素構造から定まる自然な向きが入る．

証明. (X, [A]) を Riemann 面としよう．複素平面には自然な向き（いわゆる右手系）が定まっているので，それを局所座標 α ∈ A を用いて各 U_{α} に向きが定まる．この向きが α の取り方にはよらないことを見ればよいが，それには α, β ∈ A に対して座標変換 φ = β ∘ α^{−1} が向きを保つことに注意すればよい．実際， φ の Jacobian は J_{φ}(z) = |φ′(z)|^{2} > 0 となるので，向きが保たれることは容易に分かる． □

1.3 正則函数と正則写像

Riemann 面 X 上の複素数値函数 f : X → ℂ が点 p_{0} ∈ X において正則 (holomorphic) であるとは， p_{0} の座標近傍を与える局所座標 α に対して f ∘ α^{−1} : V_{α} → ℂ が α(p_{0}) の近傍において（通常の意味で）正則であることをいう．ここで，ある局所座標に対して上のことが成り立てば，任意の局所座標についても同じことが言えることに注意しておく．これは函数の正則性などを調べる上で重要で，いちいち全ての局所座標について正則性を調べる必要がないことを意味する．実際， f ∘ α が α(p_{0}) の近傍において正則であれば，別の局所座標 β に対しても座標変換 φ = α ∘ β^{−1} が正則なので，その合成で書ける f ∘ β^{−1} = (f ∘ α^{−1}) ∘ φ も β(p_{0}) の近傍で正則になる．

さらに函数 f : X → ℂ が（X において）正則であるとは， f が X の各点において正則であること，すなわち X の各局所座標 α : U_{α} → V_{α} に対して f ∘ α^{−1} : V_{α} → ℂ が正則であることをいう． X 上の正則函数全体のなす集合を以下では O(X) と書くことにする．集合 O(X) は定数函数として自然に ℂ を含み，函数の通常の和や積及びスカラー倍に関して可換 ℂ 代数となっているになっていることに注意する．

上と同様にして，双正則な変換 φ によって保たれるような函数の局所的な性質は， Riemann 面上の函数に自然に拡張される．たとえば， C^{r} 級であるとか，調和であるといったものである．これらの用法は今後断りなく用いられることがある．

次に Riemann 面間の写像に関する正則性の定義を述べよう．ただし，今度は写像の連続性は最初から仮定に入れておく必要がある． (X, [A]), (Y, [B]) を二つの Riemann 面とし， f : X → Y を連続写像とする．このとき f が正則であるとは，任意の α ∈ A および β ∈ B に対して， β ∘ f ∘ α^{−1} : α(U_{α} ∩ f^{−1}(U_{β})) → V_{β} が正則であることをいう．ここで， f の連続性から U_{α} ∩ f^{−1}(U_{β}) が開集合であることに注意しておく．

さらに，正則写像 f : X → Y が全単射で逆写像 f^{−1} : Y → X も正則であるとき， f : X → Y は双正則 (biholomorphic) または（別の文脈から）等角 (conformal) と呼ばれる．（実際には， f : X → Y が全単射かつ正則であれば，自動的に逆写像も正則になる．）双正則写像が存在するような Riemann 面 X, Y は双正則同値または等角同値であると言われる．

1.4 Riemann 面の基本的例

例 1 (部分領域). (X, [A]) を Riemann 面とし， Y ⊂ X を部分領域（空でない連結開集合）とする．このとき A|_{Y} = {α|_{Y} : U_{α} ∩ Y → α(U_{α} ∩ Y) : α ∈ A} とすれば， A|_{Y} は Y の地図帳となる．これを代表元とする複素構造を Y に入れた Riemann 面を通常， X の部分領域と呼ぶ．このとき，包含写像 ι : Y ↪ X は正則となるが，この包含写像が正則となるような複素構造は一意的であり，この性質により部分領域の複素構造を特徴付けることも可能である．

例 2 (平面領域). 複素平面 ℂ には， A = {id_{ℂ}} として複素構造が入る．また，平面内の領域には複素平面の部分領域として自然な複素構造が入る．以後，単に平面領域と言えば，この複素構造を持った平面内の領域を意味することとする．

例 3 (Riemann 球面). X を ℂ に無限遠点 ∞ を付け加えて得られる 1 点コンパクト化とする．写像 α : ℂ → ℂ を α(z) = z により，写像 β : X \{0} → ℂ を β(z) = 1/z により定義する．（ただし β(∞) = 0 と定める．）すると A = {α, β} は X の地図帳となる．実際，座標変換 φ = β ∘α^{−1} : ℂ^{∗} → ℂ^{∗} （ただしここに ℂ^{∗} = ℂ\{0} とする）は φ(z) = 1/z と表せ，これは双正則となっている．これにより定まる Riemann 面 (X, [A]) を Riemann 球面 (the Riemann sphere) と呼び，以下では ℂ̂ と表す．

Riemann 面 X から Riemann 球面 ℂ̂ への正則写像で恒等的に ∞ ではないものを有理型写像と呼び，その全体を M(X) で表す．次の命題から容易に分かるように集合 M(X) は通常の加減乗除により体をなし，定数函数として ℂ を部分体に持つ．これは X 上の有理型函数体と呼ばれる．

補題 1.4. X を Riemann 面とし， f : X → ℂ̂ を恒等的には 0 や ∞ でない Riemann 球面への正則写像とする．このとき，各局所座標 α : U → V および点 p_{0} ∈ U に対して，ある整数 k があり f は

f ∘ α^{−1}(z) = ∑_{n=k}^{∞}a_{n}(z − z_{0})^{n} (a_{k} ≠ 0)

の形の z_{0} = α(p_{0}) のまわりの穴あき近傍で収束する Laurent 級数で表示される．また，この k は f と点 p_{0} によってのみ定まり，座標の取り方にはよらない．逆に，上のように局所的に有理型函数で表されるような X 上の“函数”は自然に ℂ̂ への正則函数とみなせる．

実際には上の級数は d = inf{|z − z_{0}|; z ∈ ∂V ∪ α(f^{−1}(∞))} として Δ^{∗} = {z ∈ ℂ; 0 < |z − z_{0}| < d} において広義一様絶対収束する．また，上の展開は z = α(p) と考えて，

f = ∑_{n=k}^{∞} a_{n}(α − α(p_{0}))^{n} (a_{k} ≠ 0)

が α^{−1}(Δ^{∗}) 上で成り立っていると捉えることもできる．

上の k は f の点 p_{0} における位数 (order) と呼ばれ，本書では記号 ord_{f}(p_{0}) で表す．位数が負であるような点 p_{0} は f の極と呼ばれ， −ord_{f}(p_{0}) は極の位数と呼ばれる．また，位数 ord_{f}(p_{0}) が正であるような点 p_{0} は f の零点 (zero) と呼ばれ， ord_{f}(p_{0}) は零点の位数と呼ばれる．上の補題から零点や極は必ず孤立して現れることに注意せよ．また，函数 f − f(p_{0}) の p_{0} における位数は f の p_{0} における重複度 (multiplicity) と呼ばれる．

次の結果は， Riemann 面への局所同相写像があれば，元の空間にその写像を正則とするような複素構造が一意的に入ることを意味する．これは応用上重要で，特に以下で展開する被覆空間との関連で有用となる．ここで X, Y を位相空間として f : X → Y が局所同相であるとは，任意の p_{0} ∈ X に対して，ある p_{0} の開近傍 U と f(p_{0}) の開近傍 U′ が存在して制限 f : U → U′ が同相になることをいう．命題 1.5. X を連結 Hausdorff 空間とし Y を Riemann 面とする．局所同相写像 f : X → Y が与えられたとすると，それを正則写像とするような X の複素構造が唯一つ存在する．

証明. 各点 p ∈ X に対して，その開近傍 U を f : U → f(U) = U′ が同相で， U′ が Y のある局所座標 α の定義域 U_{α} に含まれるように十分小さくとる．そこで， α_{p} = α ∘ p : U → α(U′) と定めて， A = {α_{p} : p ∈ X} とすれば A は X の地図帳となり， f : X → Y は対応する複素構造に関して正則となる．

次に一意性を示す． B を X の地図帳で，それに関して f : X → Y が正則であるようなものとする． β ∈ B とすると，任意の α_{p} = α ∘ f : U → U′ ∈ A に対して， α_{p} ∘ β^{−1} = α ∘ f ∘ β^{−1} は f の B に関する正則性から U_{β} ∩ U_{α_{p}} において正則である。これは A と B が同値な複素構造を定めることを意味する。 □

・鋏と糊の方法・複素トーラス

1.5 正則写像の基本的性質

・局所的標準形・最大値原理・一致の定理・除去可能定理

1.6 複素トーラスと楕円函数

1.7 代数函数の Riemann 面

1.8 向き付けられた2次元Riemann多様体の等角構造

・ Beltrami 方程式

第2章被覆空間

2.1 被覆空間の定義

・一般的な状況での定義

2.2 ホモトピーと基本群

・ Homotopy Lifting Property

2.3 普遍被覆空間の存在

2.4 写像の持ち上げ可能性

2.5 被覆変換群と Galois 被覆

第3章 Riemann面上の微積分

3.1 Riemann 面の複素接束 3.2 微分形式と外微分 3.3 微分形式の積分 3.4 ホモロジー 3.5 アーベル微分 3.6 留数計算 3.7 周期関係式

第4章 Riemann面上の調和函数論

4.1 調和函数の基本的性質

・ well-defined

・平均値性， Poisson 積分による表示・ Harnack 不等式

4.2 劣調和函数と最大値原理 4.3 Perron の方法 4.4 Radó の定理 4.5 Dirichlet 原理 4.6 Green 函数

第5章一意化定理

5.1 Riemann の写像定理 5.2 正規作用素 5.3 標準截線領域への等角写像 5.4 Poincaré-Koebe の一意化定理

第6章一意化定理の応用

6.1 Riemann 球面の自己同型群としての PSL(2, ℂ) 6.2 Möbius 変換の分類と標準形 6.3 Riemann 面の分類 6.4 Riemann 面の等角自己同型群

第7章双曲計量とその応用

7.1 双曲的 Riemann 面と双曲計量 7.2 Schwarz の補題と短縮原理

第8章講義予定

8.1 10 月 2 日

・一意化定理の Riemann 面論における位置づけの説明・ Riemann 面の定義

8.2 10 月 9 日

・ Riemann 面間の正則写像の定義・ Riemann 面の例（部分領域， Riemann 球面，局所同相写像による引き戻し，鋏

と糊の方法）

8.3 10 月 16 日

・例の続き（超楕円曲線，複素トーラス）・ Weierstrass の ℘ 函数

8.4 10 月 23 日

・ Riemann 面の位相的性質（向き付け可能性，可算性）・正則函数の標準形，最大値原理とその応用（代数学の基本定理など）・一致の定理

8.5 10 月 30 日

休講

8.6 11 月 6 日

・前回の復習（及び命題：コンパクト Riemann 面からの正則写像は全射）・相対ホモトピーと基本群・単連結，可縮・ Riemann 球面の単連結性

8.7 11 月 13 日

・被覆の定義・モノドロミー定理

8.8 11 月 20 日

・ CLP (curve lifting property) ・単連結領域からの連続写像の持ち上げ可能性定理・ propernesss

8.9 11 月 27 日

・普遍被覆面（性質とその存在）・ Deck 変換群

8.10 12 月 4 日

休講

8.11 12 月 11 日

・ Deck 変換群の Galois 性と有理関数体の Galois 理論との関連・普遍被覆の Deck 変換群が基本群と同型であることの証明・一意化定理の説明とその効用

8.12 12 月 18 日

・調和関数， Poisson の公式， Harnack の定理・劣調和関数（定義のみ）

8.13 1 月 8 日

休講

8.14 1 月 15 日

・復習（Poisson 核の Fourier 級数的解釈）・ Perron の定理の証明・ barrier と正則性の証明（前半分）

8.15 1 月 22 日

・ barrier の存在のための十分条件・ Radó の定理の証明の概略・与えられた特異性を持つ調和関数の存在定理・一般一意化定理の証明（前半）

8.16 1 月 29 日

8.17 2 月 5 日